Faktorenanalyse

In unserer täglich komplexer werdenden Welt ist es nicht immer leicht, Zusammenhänge und Wirkungsfaktoren durch bloßes Hinsehen und den “gesunden Menschenverstand” zu erkennen und zu verstehen. Deshalb sollte es fast selbst- verständlich sein, sich zwecks klarerer Erkenntnis der vielfältigen Methoden der mathematischen Statistik zu bedienen, denn diese Methoden erlauben es meist besser als viele andere Erkenntnis liefernde Verfahren, gezielt Zusammenhänge aufzuspüren und objektiv darzustellen.

Ein weiteres Beispiel wie PS-Explore auch höhere statistische Verfahren in auch durch den mathematischen Laien  ver- stehbare Ergebnisse umsetzt, gibt PS-Explore mit seiner Möglichkeit der visuellen Faktorenanalyse (FA).

Die Faktorenanalyse zählt zu den klassischen Verfahren der multivariaten Statistik und ist in nahezu allen Bereichen und quer durch verschiedenste Disziplinen einsetzbar. Ziel des Verfahrens ist die Strukturierung umfangreicher Datenmengen und die Herleitung zunächst hypothetischer Größen, sog. Faktoren oder Dimensionen, welche die vorgegebenen Daten hinsichtlich ihrer Variation erklären können. Wichtiges Ziel ist es dabei, mit möglichst wenig Faktoren den Hauptanteil an Variation der Merkmale zu erklären.

Zur Durchführung einer FA benötigt man zunächst Maße für den paarweisen Zusammenhang aller in die Analyse einbe- zogener Merkmale. In der Regel sind dies Produkt-Moment-Korrelationen oder solche Korrelationsmaße die von diesem Koeffizienten hergeleitet werden können. Diese Maße werden von der Prozedur MULTI, in welche die Faktorenanalyse in PS-Explore eingebettet ist, automatisch unter Berücksichtigung des entsprechenden Skalenniveaus der Merkmale berechnet und in der unteren Dreiecksmatrix der sog. multiplen Streudiagramme (siehe unten) ausgewiesen. In der oberen Dreiecksmatrix findet man dann die Streudiagramme oder, falls dichotome bzw. auch mehr-klassige oder Rangdaten vorliegen, entsprechende Kreuztabellen mit Graustufenkodierung der Zellenhäufigkeiten. Im Beispiel unten sind in den Streudiagrammen auch die sog. Hauptkomponenten dargestellt worden.

Bei Anwahl des Punktes Faktorenanalyse im Modul Autopilot(vorstehende Abb.)  wird das Verfahren gestartet und auf dem Bildschirm wird das entsprechende Ergebnis ausgegeben. Man erkennt dort die ursprüngliche Streudiagrammatrix plus rechts davon, die berechneten Faktoren oder - neutraler gesprochen - Dimensionen. Die graustufenkodierten sog. Faktorladungen der Dimensionen, geben an, wie stark ein Merkmal von dem jeweiligen Faktor “beeinflußt” wird. Die La- dungen können wie Korrelationskoeffizienten zwischen -1 und +1 liegen. Der auf einen Faktor entfallende “Erklärungs- anteil” wird in der Matrix unten rechts in Prozent ausgewiesen. Die letzte Zeile der erweiterten Streudiagrammatrix weist die sog. Kommunalitäten aus, die Werte zwischen 0 und 1 annehmen können. Merkmale mit hohen Kommunalitäten haben eine entsprechend stärkere Bedeutung für das Modell als solche mit niedrigen.

Im nachstehenden Beispiel wurden kriminologische Daten in das Verfahren eingespeist. Durch die  Graustufenkodierung sieht man sehr deutlich, dass sich zwei Faktoren herausbilden, von denen der erste stark auf Eigentumsdelikte “läd” und der zweite offenbar eher mit Gewaltdelikten in Verbindung steht.

Ziel der FA ist es, die Faktoren so zu bestimmen, daß jeweils wenige Variablen besonders hoch auf einen bestimmten Faktor laden und alle anderen Merkmale hinsichtlich des betreffenden Faktors nahe 0 liegen. Man spricht hier von sog. Einfachstruktur. Die Merkmale die auf einen Faktor besonders hoch laden (>0.8) geben ihm auch seine inhaltliche durch Interpretation festzulegende Bedeutung. Die berechneten Faktoren in der hier benutzten FA sind untereinander unkorre- liert (unabhängig, orthogonal) und lassen sich hinsichtlich der Ladungen wie in nachstehender Abbildung im einfachen Streudiagramm darstellen. Mittels dieser Darstellungsart gewinnt man Überblick über die Relation der Merkmale zuein- ander. In der Abbildung sind noch zusätzlich die sog. Faktorwerte der Objekte ausgewiesen, wodurch die Relation der einzelnen in die Analyse eingegangenen Fälle zu den Variablen (Merkmalen) deutlich wird.

Die hier mittels der PS-Explore-Ad-Hoc-Grafik dargestellten Faktorwerte und Faktorladungen können mittels der Zoom- Funk tion noch detailierter betrachtet werden.

Der methodisch in Faktorenanalyse versierte Experte wird naturgemäß auch einen Blick auf die numerischen Ergebnisse des Verfahrens werfen wollen und sich nicht allein mit der Visualisierung begnügen. Hier bietet die FA in PS-Explore alle wichtigen Tabellen, so etwa die Korrelationsmatrix mit statistischen Signifikanzen, die Residualkorrelationen, die Kom- munalitäten, die Eigenwerte und Varianzanteile vor und nach der Iteration und schließlich noch einen Analysereport.

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